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🗒️我的笔记
数学起源
- 数学max这个词起源于希腊语 MATHEM这个词的意思呢就是学习成长 自古希腊先贤的眼中 学别的都是摸鱼 学数学才算学习相 物理化学生物虽然也有点难 但基本都是在探索我们能感知的自然现象 数学真的是捡根笔的功夫 你就穿越了 这是一张经典的数学深渊 大家可以感受一下你在第几层 相信大家在初高中的数学考试中 都难免会有考不到满分的情况 通常我们会为自己不够聪明而自责 因为你相信不管多难的数学题
- 那就是我们相信数学中没有永远的未解之谜 一切都必有答案 假意识智慧的后人一定会证明所有的真理 向 20世纪初由数学家提出一些诡异的悖论 打破了数学的对错分明 比如1901年罗素提出的理发师悖论 一个理发师宣布 我只给不自己理发的人理发 那理发师给不给自己理发 如果他不给自己理发 那他就得给自己理发 如果他给自己理发 那他就不能给自己理发
- 大家看到的原始形式 罗素悖论可能理解的更清楚 再比如贝里悖论 一个通俗版本 是 所有的自然数 都能用20个以内的汉字表达出来吗 你看你真的不可能汉字就那么多 这20个字再怎么组合也是有限多呀 我把那个书放在这里 毕导你给我20个字表达一下 但假设存在一些不能用20个以内 汉字表达的自然数 则必存在一个最小的 不能被20个以内汉字表达的自然数 但这个数刚刚已经有20个字以内表达出来了
- 所以所有的自然数都能用20个字以内表达 欢迎大家讨论问题究竟出在哪一环 甚至还有着有趣数字悖论 说有些数字很有趣 比如八他很吉利 2333他是快乐 180 他是我的身高 有些自然数呢就很无趣 比如912 它就没啥意思对吧 但我们宣布其实所有的自然数都是有趣的 证明如下 还是反证法 假设存在一些无趣的自然数 那就必然存在一个最小的无趣的自然数 那这个书本身就很有趣啊 它可是最小的无趣的自然数啊 古原假设不成立 所有的自然数都很有趣 我第一次听说这些悖论的时候 反应和大家一样 就这都谁想出来乱七八糟的 但向理发师悖论 他确实严格地从一个论述中 推导出了两个相反的结论 理发师给自己理发也对 不给自己理发也对 两个矛盾的结论都对又都不对 矛盾对数学是灾难 因为矛盾夺回了真理 假的概念 甚至一对矛盾足以用来证明一切 比如说 如果毕导爱拖更和毕导不爱拖更同时成立 我就能直接证明黎曼猜想证明如下 因为毕导爱拖更为真 那么可以推出毕导爱拖更或黎曼猜想成立 必为真 那么毕导爱拖更和黎曼猜想成立 至少有一个为真 而我们知道毕导不爱拖更为真 所以前半句不成立 那只能是黎曼猜想成立为证了 正B黎曼猜想竟然就从毕导爱不爱拖更 这件事中证明出来了 但你要问他真正出来了吗 如来证明证出来不如来到底来没来 如来他很厉害 一对矛盾的存在 就可以爆炸性的涌现出一切你想证明的东西 这就是哲学里著名的爆炸原理 原文是拉丁语艾克斯康特拉迪斯 Poly bad 你笑什么笑 你会拉丁语啊 一切都可以证明 一切都可以证伪 数学也就崩坏了 所以数学中绝不允许出现罗素悖论这样的矛盾 一个不知道给不给自己理发的理发师必须死 这些矛盾怎么解决呢 罗素创立了类型论 大概是把数学对象排除层次结构 禁止用自己定义自己 不允许给不自己理发的人理发的理发师 这种套娃说法 策梅洛等人提出的另一套公理 并建立了ZFC级护盾 这个体系呢不会出现罗素悖论
希尔伯特纲领
- 20世纪的数学王者希尔伯特，也从罗素悖论引发的数学危机中，认识到了数学还不够清楚明白的问题 1920年左右在饱受战火蹂躏的欧洲的废墟中他提出了一个宏大的纲领 就叫希尔伯特纲领 致力于为数学提供绝对严谨的基础 希尔伯特纲领的核心思路是 在每个数学领域规定一些基本的功底 再把公理写成形式语言 用来证明其他一切 那什么是公理呢 公理通常是一些显然成立 不证自明 大家都接受的命题 比如两点确定一条直线 毕导的视频都应该三连 就是典型的公理 不会有人不同意吧 什么是形式语言呢 就是把所有的句子都变成符号 比如FX的P处的极限为L写成符号 就是这样 是不是非常简洁优雅呢 所以宫里就是宇宙万法那个源头 从公理出发一步步证明其他的命题是真是假 就绝对严谨 比如说这是算术领域的piano功底 看着都很简单 从他们出发 只要50多部就可以方便又严谨的证明 1+1=2 以后你就不用怀疑这个阶段的 放心大胆用 如果大家喜欢这期视频的话 以后我们可以单独出一期讲讲怎么证 希尔伯特觉得这套基于公理和证明的数学体系 太棒了 他说还要再证明
- 这个体系有以下几条美好的品质，数学的王国从此就彻底完美了
- 第一完备性
- 即所有的真命题都可以从公理出发得到证明，不可能说有句话是真的，但无法证明它是真的
- 第二一致性即这个体系不存在矛盾
- 不可能你从公理出发推出的一个命题 又推出它的反面，不然我们前面讲过就爆炸了
- 第三可判定性即存在一个算法
- 能判定任意一个命题是否可以从宫里出发证明
- 第一完备性
哥德尔
- 在1931年9月7日 一年24岁不讲武德的年轻人叫哥德尔 在柯尼斯堡举行的第二届精确科学 认识的会议上宣布 希望我的梦想我已经解决了 大家说厉害 年轻快点 科学怎么解决的 哥德尔说我证明了数学笔记有完备性
- 哥德尔用一个非常精妙的方法 证明了数学中必然存在某些真命题是无法证明的你可以明确知道他是真的但它永远不可能被你证明，这就是哥德尔第一不完备性定理
- 不过请屏幕前的观众朋友们千万不要低头见 我们要做的第一步是构造一种对应关系 把数学中所有的东西都映射到某树 成为哥德尔数 这样做妙就妙在 我们就可以把对数学的性质的讨论 变成对数学的性质的讨论 数学中最基础的是符号 首先我们定义12个最基本的数学符号为非或 如果那么存在等号等等 我们为他们分配1~12的哥德尔数 XYZ之类的 字母的哥德尔数规定为十三十七十九时间 后门的质数需要九字取 在我们今天讨论的自然数范围内 这12个符号加上字母基本都表达一切了 比如皮亚诺算术公理 有的观众想说的 你这里面连123都没有 那表达个啥呀 注意这里有一个后记 意思就是后面的书页一是零的后期 所以一就表达为S0 二就是SS0 以此类推 到此为止 基本的数字和符号都有了自己的哥德尔数 数字和符号的序列可以构成命题 比如零乘以X等于零是一个命题 这五个符号的哥德尔数是六十二十三五十六 如何把这个命题转化为一个哥德尔数呢 我们的方法是写出前几个质数 把这五个符号的哥德尔数放在它的质数位置 再相乘 这样零乘以X等于零 G的面积较大 质数值是26次方乘以三的12次方 乘以52次方乘以十的五次方 乘以十的六次方 约等于一千两百三十六亿亿亿 可以看出命题得到的数都很大 这个方法有点繁琐 但它妙就妙 在我们小学二年级都学过质数分解 一个整数的质因数分解方式是唯一的 所以这个方法保证了 每个命题都可以对应到唯一的哥德尔数 而你看到一个哥德尔数 也可以通过质因数分解求出它究竟是什么命题 大家可以算一下这个指导数对应的命题是什么 到此为止 所有的命题都有了自己对应的哥德尔数 命题的序列可以构成证明过程 比如如何证明一一是存在的 根据亚诺公理 每个自然数都存在后期数拼零的后继 一是存在的 写出来就是存在xx和XY 所以存在xx等X0写成哥德尔数 就是因为八四十三九 80 357十七九 所以1844398435769 这两个命题有点数分别是这坨和这坨 那么如何计算这个证明过程的主导数呢 和刚才一样的方法 用质数的质数相乘 成熟的这一页已经写不下了 我就不念了 所以一是存在的证明过程的哥德尔数 就是这坨树到此为止 所有的证明过程都有了自己对应的哥德尔数 我知道到这儿大家可能还不服啊 有些观众要问了 那好像只有一些特别简单的符号命题 可以写成哥德尔数毕导 你有本事给我写一个复杂一点的秘籍 比如说质数有无穷多个啊 我个人的想法是这样 质数有无穷多个 就是不存在最大的质数 也就是不存在质数P 使得对于任何一个质数Q都有P大于等于Q 有的观众要问了 那哥德尔符号里只有存在 没有任意义啊 存在和任意是可以等价转化的 不存在最大的质数 也可以转化为不存在一个质数 P使得不存在比他大的质数Q有的观众要问了 那怎么表达质数呢 质数没有除一和自身外的因数 也就是个数S满足不存在要数一小于M小于S 能存在数N时的M乘以N等于S 因此质数无穷多个就可以写成非存在一个数P 它满足不存在数M使得一小于M等于P10 能存在数N使得M乘以N等于P 结果存在一个数Q满足不存在数K时间 一小于K小于Q时 能存在数L时的K乘以L等于Q 能有P小于Q16观众要问了 那怎么表达大于小于和浅呢 这些符号都不在那12这里面啊 A大于B就是存在一个X的A等于B加X A乘B就存在一个Y使的B的A加YC 且D就是非C或非D的V 现在质数有无穷多个 就可以用基本的符号表达了 然后就可以算哥德尔数了 很暴力美学对吧 这才不是最暴力的 他真正暴力的地方在于 他甚至可以把讨论一个命题的命题 就变成哥德尔数 比如说这个命题0+1=2 算他的最大数 现在大家已经很简单了 但我们考虑一个讨论这个命题的命题 0+1=2的第二个符号是加号 他们知道数是什么呢 第二个符号是加号 加号的哥德尔数是11 那0+1=2 这个命题算哥德尔数的时候 第二项就是三的11次方 否则第二项就会是三的其他整数次方 因此命题0+1=2的第二个符号是加号 意味着0+1=2 这个面积最大质数能被三的11次方整除 却不能被三的12次方 证明他就可以写成这样 从而算出他的格挡数 再比如哥德巴赫猜想 无法证明这个问题 要算他的哥德尔数 你可以考虑把它转化为没有一个证明过程 以哥德巴赫猜想收回 也就是不存在一个CAB的证明过程 使得它的哥德尔数能被DK的质数的 哥德巴赫猜想的哥德尔数次方整除一阵 到底是不是很大胆 总之这些案例说明各种复杂的命题 不论真假 甚至是讨论命题的命题都可以转化为哥德尔数 很轻松吧 哎好把上面讲的都放在一边 准备工作到此结束 下面我们要开始证明了 证明过程很简单 就是有一丢丢的抽象啊 还有人在吗 今天的视频要正式开始了 我们首先考虑这个命题存在一个X 使得它是Y的后继真命题的构造数呢 我们现在头算都能算了 大概就是1T2710的95次方 那我们把它记为 然后我们用这个大整数M去替换这种Y 得到一个新命题存在X使得它是M的后继 真命题也很好理解对吧 那敏锐的观众可能会说 毕导你在这卡bug 没错 卡数学的bug正是我们本次证明的核心操作 上面这个命题的哥德尔数是多少呢 他就是这个太大了 我们先把它放在一边 我们来定义一个特殊的函数 叫做sub AD c sub的意义就是替换这个函数的规则 是寻找T3部曲哥德尔数为A的那个命题 找到命题当中哥德尔数为C的符号的位置 把它替换成数字B 得到的这个新命题的哥德尔数就是THUABC 我们用一个案例来演示 什么是哥德尔数为sub mm17的命题 它就是取哥德尔数为M的那个命题 也就是上面我们说的这个问题 找到这个命题当中 哥德尔数为17的符号的位置 也就是Y的位置 把它替换成M这个数 得到的这个新命题 他的哥德尔数就是THUMM17 这个命题也就是我们刚刚说的这个命题 那么现在这个对sub函数的演示大家都清楚了 对吧好 把上面讲的都放在一边 下回我考了一个新的命题 叫做无法证明哥德尔数是萨布YY时期的 那这个哥德尔数为sub yy17的命题 究竟是个什么命题呢 他还是徐找T3步取那个哥德尔数为Y的命题 这里Y是一个未知的大树 我们也写不出来这究竟是个什么命题 找到命题当中哥德尔数为17的符号 也就是Y的符号的位置 把它替换成Y的这个大数进步 是一个有点绕的操作 我们举个例子吧 比如说Y可能是十的146平方之类的 一个大数 它对应的命题可能是Y能被三整除 这样的一个命题 那么经过sub yy时期操作后的新问题 我们就是要用十的146次方去替换 这个Y得到的生命题 也就是十的146次方能被三整除 这个命题的哥德尔数 也就是这种THU10的146次方 十的146次方17 在这里Y是一个未知的变量 但它本质上是一个数字 而哥德尔数为17的符号 对应的那个Y就是一个字母 我们是要用Y这个数字来替换 哥德尔数为Y的命题当中 可能存在的Y这个字母 然后我们记刚才这个命题无法证明哥德尔数 视频THUYY17的命题的哥德尔数10年嗯 好最后一把长子放在一边 我们来考虑一个全新的命题 叫做无法证明哥德尔数是萨博恩恩时期的命题 我们来看看什么是哥德尔数为sub NN时期的名字 他还是去找一下取那个哥德尔数为N的秘密 也就是无法证明哥德尔数是萨布YY时期的命题 这个命题找到所有哥德尔数为17的符号 也就是Y的位置 把它替换成N 所以这个命题就是无法证明 哥德尔数是萨博NN17命诶 也就是说无法证明哥德尔数是萨博NN时期的 命题的哥德尔数正好就是萨博恩恩时期 这个命题说的正好就是自己是无法证明的 非常amazing啊 这其中一定有问题 我们得仔细的分析一下 那么我们来看一下我们刚才找到的这个命题 无法证明哥德尔数是萨博NN时期的命题 究竟是一个真命题还是假命题 如果说无法证明 哥德尔数是萨阿BNN时期的命题 是一个假命题 那它的反面就得是个真命题 它的反面是什么呢 可以证明哥德尔数是萨博恩时期的命题 它就得是一个真命题 那哥德尔数是萨博恩时期的命题 都可以证明了 那他当然是一个真命题 真命题才能被证明吗 所以说哥德尔数是THUNN时期的命题 就得是一个真命题 那么什么是哥德尔数 是萨阿BNN时期的命题 我们刚才知道 他就是无法证明 哥德尔数是萨阿BNN时期的命题 那这个命题是真命题 也就是说 无法证明哥德尔数是萨特A时期的命题 是一个真命题 可是我们刚刚假设了他是一个假命题 现在又从他出发推导出了他是一个真命题 amazing吧 矛盾了 如果你承认数学是一致的 那就不能有矛盾 故原假设不成 所以无法证明哥德尔数是萨博NN时期的谜题 只能是一个真命题 所以这个命题是一个真命题 而他说的就是自己是无法证明的 因此这就是一个真却无法证明的命题 就这样 我们从宫里出发 经过一通天马行空的构造 在数学的浩瀚海洋中捞出了一个怪异的命题 他的哥德尔数是sub n n时期 他是真的 但你却无法证明它是真的 希尔伯特所期待的第一条完备性 就这样被打破了 我们从数学公理出发 证明了任何一个包含了初等算术的系统 总会存在真却无法证明的命题 如果数学是一致的 它就只能是不完备的 这就是哥德尔第一不完备性定义 上面这个酷炫的证明 只是这段读博期间发了一篇论文 我不知道屏幕前各位博士生看的是什么感想 希尔伯特觉得很难过 他说大家能不能给我西某人一个面子 我们能不能证明公理化的数学系统是一致的呢 一致性是希尔伯特最想证明的性质 在他向瑞士数学会发表的题为物理化思想 的演讲中 就强调过 建立公立体系不仅仅是要避免悖论的 他必须走得更远 要在每个知识领域内表明 基于公理系统的矛盾是绝对不可能的 说得多好 但是在周德尔第一部明星经理发表一年之后 周德尔在1931年又发表了一篇论文 宣布小鬼的梦想 我又给解决了 大家说厉害啊 年轻人快点来说怎么解决的 这点说我又证明了一致性是无法证明的 劈我一致性是吧 哥德尔又证明了 公理系统无法证明自身是否具有一致性 这就是哥德尔第二部完备性定理 我们再来证明一下 比刚那个还简单 我们回想刚刚证明 哥德尔第一部完备性定义过程 别看它很绕 其实他几乎没有用到任何条件 我们就是凭空巧妙的找到了一个哥德尔数 为sub n n时期的命题 并指出假设数学公理体系是一致的 它就得是真的且无法证明的 也就是说我们推导出sub n n时期为真 用到的唯一条件就是假设公理体系是一致的 那如果我们能从公理出发 用某种风骚的方法证明公理体系是一致 我们就相当于从宫里出发 证明了哥德尔数为sub n n时期的命题 但哥德尔第一部完备性定理告诉我 萨博恩时期是不能证明的 那只能是这一年不成立的 我们不能从公理出发 证明这个公理系统是否一致 这有点像宇宙内的速度上限是光速 但你不能用光速去约束宇宙自身膨胀的速度 所以对不起了 希尔伯特往好里想 你以后也不用纠结这个问题 讲个小插曲 1947年哥德尔移民美国的时候 爱因斯坦陪他参加美国公民考试 考前刷题的时候 这段二质数 我发现了美国宪法当中一个不一致的地方 后世称为哥德尔漏洞 可以看出 哥德尔这人真的很擅长发现体系的不一致性 也许他就是希尔伯特的一生之敌吧 希尔伯特更难过了 他说那完备性和一致性都搞不定了 至少可判定性走应该没错 也是不成立的 1936年 数学家图灵 提出的一套基于图灵机停机问题的思路 证明了数学是不可判定的 不可能有一套算法能机械的判断 所有数学面对真货假 大家可以参考真理元素的视频 讲的非常详细 总结一下 希尔伯特构建了公理 数学体系的三条美好性质 我们都给出了答案 那就是数学不完美 不可判定 无法证明是否一致 挺好的 没有全给他后门 希尔伯特于1943年去世 所以很幸运 这些证明他应该都看到红日红日红日红
自指
- 数学为什么非要存在这种缺陷呢 它就像一个无穷海洋中的工种 气泡王 更深了想大家觉得数学是客观的存在 还是人类思维的抽象创造 从直觉主义的观点看 数学应该像童话人物一样 只是精神中的存在 如果没有人脑的思考 就没有复杂的数学 那难道我们人类的意识所能构造出的 最完美的童话注定是不完 为什么我们的思维深处藏着一个名为萨博 NN时期的 这是我们人类出厂预设的思维 不是我期待中的数学 那我们应该感到悲伤 还是说应该快乐呢 萨德时期的本质是什么呢 有些朋友说本质就是B当尼格那绕来绕去没错 这种绕来绕去说的专业一些就是自指 无法证明绝大数学三文时间中 一年招大树就是三文17者就是一种自指 这个句子在谈论自身 自指是矛盾根源 但也是让人快乐的结构性幽默 比如我是这个句子的主语 有没有什么问题 会莫名其妙地包含哈密瓜这个词 全能的上帝 能不能创造一块自己都举不起的石头 人类在历史中得到的唯一教训 就是人类在历史中不会得到任何教训 这个句子是一个自指的句子吗 欢迎大家在弹幕里面写一些自指的句子 跳出语言梗 生活中也充满了有趣的自己 比如这些标志 比如这个地方 比如王力宏拿的水上 有个王力宏拿着水 比如摄像机拍到了自己正在拍的画面 比如理发师悖论 贝里悖论 有趣数字悖论 这段代码run一下 可以输出这段代码 这种自指代码称为奎因 可不是print一下那么简单哦 我的世界这款游戏里面可以用红石实验编程 有大佬甚至可以在我的世界里面写一个 我的世界 进入艺术的领域 自指更是有无穷的魅力 有一本我最近看的云里雾里的书叫哥德尔 艾舍尔和巴赫 他举的这三个人的首字母缩写为JB 书的中文名翻译作吉利B
- 他从绘画音乐AI等多种领域探讨了自指逻辑 从无意义中诞生意义这些玄乎的概念 比如这些作品来自荷兰画家埃舍尔 他经常创造悖论式的视觉结构 来对数学中自指和无穷的概念进行艺术的影响 这张经典的画手两只手循环往复自我创造 自指射萨博恩时期 如果有尸体 大概就长这样 这首曲子是我们都熟悉的D大调卡农 卡农不是一首歌 而是一种作曲技法 巴赫有一首螃蟹卡农 他的谱子政治演奏是这样的 反正演奏是这样 神奇的是 他还可以正反同时演奏 就像两只螃蟹同时在谱子上横着走 我咨询了一下翠花不太脆 巴赫的螃蟹厉害在哪呢 他直接发了我一个PDF 翠花说了 螃蟹卡农的曲子正反本身并不对称 但把旋律正反一起听 不仅不冲突 反而很好听 很和谐 从节奏结构到音高都很统一 如果把他的谱子放在莫比乌斯环上演奏 他就可以无穷播放下去 两只螃蟹永远爬下去 让人迷失其中 感受到音乐自指的独特美感 这种复调很难写 需要精确的数学计算 这也正是巴赫的天才之处 好听吗 好听就是好 螃蟹自指很好玩吧
- 我相信大家在看到上面这些自指的案例时 都会忍俊不禁 仿佛自指是长久存在于所有人潜意识中 的一个笑点 被戳中了就会笑 直到1930年 哥德尔指出这个笑点是数学体系不完备的根源 并摧毁了人类对数学中万有理论的追求
数学的哲学
- 所以今天最后一个值得探讨的问题是 这对我学数学有什么影响呢 其实对咱们没有那么大的影响 退一步讲 数学不完备 你不也活到现在了吗 也没影响你买菜算账 你高考数学丢的分也没有多少 是因为数学不完备造成的 再退一步讲 只是包含了强算术公理体系的不完备 小欧式几何的都是完美的 再退一步讲 哥德尔一通操作也只是找到了一个萨博恩 17是真却无法证明的 我也只听说过另外几个很不明确的定义 是在piano中无法证明的 除此之外 世界上其他的命题基本都好好的 数学依然很可靠 它依然是所有理科工科的基础 依然是解释世界的基本工具 所以只要你的数学没那么好 数学对你依然是完美的 但哥德尔不完备性定理 为数学家们带来一场巨大的地震 80年过去了 余震还没停止 著名数学家柴廷在一次节目中被主持人问道 你们数学家会因此感到难过吗 柴廷表示 Yes It does i think that upsets me Where does this leave mathematics Where does this leave certainty Where does this leave pure reason 哥德尔不完备性定理意味着 数学不能简化为一套有限的公理和推理规则 你不能写下一些公理 就推出所有的数学 他甚至表明数学真理超越了任何形式系统 数学不能抛弃意义 直觉灵感而简化为纯粹的符号游戏 物理学家彭罗斯认为 这代表视频内心工具能不科学 而是计算机而诞生 你看那如果双方计算机按照功能的规则运行 你可定义就不能证明证明 但我们人类可以理解这些无法被证明的真理 我们还可以理解他无法证明这件事 说明人类意识中一定蕴含着 比物理体系更强大的超越计算机的梦想 这个观点有很多争议啊 有人说我们人活在世上从来都是不自洽的 人生充满了矛盾 所以意识这种不一致的体系不适用于这个投入 但总之 哥德尔的工作揭示了数学的局限性 但同时也丰富了数学的哲学意义 为了获得更深刻的洞察力 我们牺牲的确定性 我家娃已经一岁多了 不知从哪天起 他突然懂得对着镜子里的自己喊自己的名字 这又何尝不是一种自指 人类正是在这种自指中意识到自我的存在 看着他每天快乐地玩耍 有时我在想 正是从他会叫自己名字的那个瞬间起 他自指了一个名为sub恩恩时期的幽灵 从此埋伏到他的意识当中了 他的数学突然不完美了 唉呀他怎么还高兴的起来呢 不过人类发展出高阶智力的标志 就是因为拥有自我的意识 我们能在脑海中回想自己 我们能思考自己的身份 我思故我在我们能自指GB的作者侯世达说 我们思维中最核心最复杂的符号 就是我是一个抽象的概念 但他似乎拥有自由意识和推动粒子运转能力 所以我究竟是飘渺的符号还是真实的存在呢 从这个意义上来讲 自指并不是一个悖论的幽灵 而是通往心灵本质的钥匙 在我的家乡兰州黄河上有一座铁桥 每次沙尘暴平息后 桥上的蜘蛛就会出来 疯狂的重建蜘蛛网 担心自己如果不赶紧把网粘好 铁桥就会被风沙吹倒 但不管蜘蛛是否情愿 沙暴依然会来 不管蜘蛛是否理解 铁桥依然坚固 黄河依然向前 不要因为哥德尔不完备性定理 觉得数学陷入危机了 如果真的有一套机械方法能解决一切数学问题 那数学反而失去魅力 正是因为数学不完备 才有无穷的创造性 数学考试也才更有乐趣 不必为人类的智慧无法证明所有的真理而遗憾 毕竟正是人类的智慧 推导出了哥德尔不完备性定义